Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，1]上的值域；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）为二次函数设出其解析式，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）通过配方，求得函数的对称轴，确定函数在给定区间上的单调性，可得函数在区间上的值域．
（Ⅲ）将“y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方”转化为“x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立”，移项后转化为“x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立”，只需该二次函数在[-1，1]上的最小值大于0即可，从而求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以

2a=2 a+b=0

，∴

a=1 b=-1

，∴f（x）=x²-x+1．
（Ⅱ）f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

所以当x∈[-1，1]时，y_min=f（

1

2

）=

3

4

，y_max=f（-1）=3
∴函数的值域为[

3

4

，3]
（Ⅲ）由题意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=

3

2

，所以g（x）在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即1²-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，同时考查了二次函数在闭区间上的值域和不等式恒成立问题，注意条件的转化，是个中档题．