Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点，H为CD中点．

（1）求证：平面FGH∥平面BED；

（2）求证：BD⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)

【解析】

（1）由面面平行的判定定理证明即可；

（2）由余弦定理可得BD=,得BD⊥AD,因为平面AED⊥平面ABD,平面AED平面ABD=AD,所以BD⊥平面AED

（3）先得到∠ABM即为所求线面角,由AD=1,AE=,DE=3,得cos∠ADE=,即sin,所以AM=ADsin,代入求出即可

证明：（1）因为G、H为BC、CD的中点,所以GH∥BD且GH=BD,

因为GH平面BED,BD平面BED,所以GH∥平面BED,

又因为EF∥HD且EF=HD,所以FH∥ED,

因为,所以平面FGH∥平面EBD

（2）因为AB=2,BC=AD=1,∠BAD=60°,在中,由余弦定理可得BD=,所以BD⊥AD,

因为平面AED⊥平面ABD,平面AED平面ABD=AD,

所以BD⊥平面AED

（3）因为EF∥AB,所以AB与平面BED所成角,即为EF与平面BED所成角,

由（2）知BD⊥平面AED,所以平面BED⊥平面AED,

且平面BED平面AED=ED,

所以过A作AM⊥平面BED,垂足M落在DE上,连接BM,

则∠ABM即为所求线面角,

由AD=1,AE=,DE=3,得cos∠ADE=,

即sin,所以AM=ADsin,

因为AB=2,所以sin