Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a+c）cosB+bcosC=0
（1）求角B的大小
（2）若△ABC外接圆半径为

3

，求a+c 的范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简等式（2a+c）cosB+bcosC=0，结合两角和的正弦公式算出sinA（2cosB+1）=0．由sinA＞0解出cosB=-

1

2

，从而可得B=

2π

3

；
（2）算出b=2RsinB=3，利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子算出a²+c²+ac=9．配方得（a+c）²=9+ac，再利用基本不等式加以计算，可得（a+c）²≤12，从而得到a+c的最大值为2

3

．再根据三角形两边之和大于第三边，可得a+c的取值范围．

解答：解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0，
∴由正弦定理，得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0．
即2sinAcosB+（sinCcosB+cosCsinB）=0
∵sin（C+B）=sinCcosB+sinBcosC，且sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A∈（0，π），可得sinA＞0，∴2cosB+1=0，得cosB=-

1

2

．
结合B是三角形的内角，可得B=

2π

3

；
（2）∵ABC外接圆半径为R=

3

，∴b=2RsinB=2

3

×sin

2π

3

=3．
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=9，
∴a²+c²-2accos

2π

3

=9，化简得a²+c²+ac=9．
配方可得（a+c）²=9+ac，
∵ac≤[

1

2

（a+c）]²，∴（a+c）²≤9+

1

4

（a+c）²，解之得（a+c）²≤12，
因此a+c≤2

3

，当且仅当a=c时等号成立．
又∵△ABC中，a+c＞b=

3

，
∴a+c的范围为（

3

，2

3

]．

点评：本题给出三角形的边角关系式，求角B的大小并求a+c的取值范围．着重考查了三角恒等变换、两角和的正弦公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．