Question

6．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，若实数a满足f（f（a））=1，则实数a的所有取值的和为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{17}{16}$-$\sqrt{5}$
• C． -$\frac{15}{16}$-$\sqrt{5}$
• D． -2

Answer 1

分析 通过a的范围，分类讨论求出方程的解，即可得到结果．

解答 解：当a＞1时，f（f（a））=1，可得log₂（log₂a）=1，可得log₂a=2，可得a=4．
当a∈（0，1]时，log₂a＜0，由f（f（a））=1，可得（log₂a）²+4log₂a+1=1，
解得log₂a=0或log₂a=-4，解得a=1，a=$\frac{1}{16}$．
当a$＜-2-\sqrt{3}$或-2+$\sqrt{3}$＜a≤0时，f（a）=a²+4a+1＞0，
由f（f（a））=1，
∴log₂（a²+4a+1）=1，
即a²+4a-1=0，
解得a=-2-$\sqrt{5}$，a=-2+$\sqrt{5}$＞0舍去．
当$-2-\sqrt{3}≤a≤-2+\sqrt{3}$时，f（a）=a²+4a+1≤0，
由f（f（a））=1，可得（a²+4a+1）²+4（a²+4a+1）+1=1，
解得（a²+4a+1）²+4（a²+4a+1）=0，可得a²+4a+1=0或a²+4a+1=-4，
解a²+4a+1=0得：a=-2-$\sqrt{3}$，a=-2+$\sqrt{3}$；
解a²+4a+1=-4得：a无解．
实数a的所有取值的和为：4+1+$\frac{1}{16}$-2-$\sqrt{5}$-2-$\sqrt{3}$$-2+\sqrt{3}$=$-\frac{15}{16}-\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．