Question

若复数z满足|z＋＋i|≤1，求：

(1)|z|的最大值和最小值；

(2)|z－1|²＋|z＋1|²的最大值和最小值；

(3)|z－|²＋|z－2i|²的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如下图所示，||＝＝2．

　　∴|z|_max＝2＋1＝3，|z|_min＝2－1＝1．

　　(2)|z－1|²＋|z＋1|²＝2|z|²＋2．

　　∴|z－1|²＋|z＋1|²的最大值为20，最小值为4．

　　(3)如图，在圆面上任取一点P，与复数z₁＝，z₂＝2i的对应点A、B相连，得向量，再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为(1)的类型．

　　设z_a＝，z_b＝2i，P为圆面上任一点，z_P＝z．

　　则2||²＋2||²＝||²＋(2||)²

　　＝7＋4||²，

　　∴|z－|²＋|z－2i|²＝(7＋4|z－－i|²)．

　　而|z－－i|_max＝|M|＋1＝1＋，

　　|z－－i|_min＝|M|－1＝－1，

　　∴|z－|²＋|z－2i|²的最大值为27＋，最小值为27－．