题目内容
已知直线l过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F,且交于A、B两点，求|AB|的最小值.
思路解析：设出适当的变量，建立关于|AB|的函数关系式，利用函数求最值. 解法一：设直线l的方程是my=x- 由 ∴y2-2pmy-p2=0. ∴y1+y2=2pm，y1y2=-p2. ∴|AB|= = = = = =2p =2p（1+m2）≥2p（1+0）=2p. ∴|AB|min=2p. 解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）. 则|AF|=x1+ ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. ∵y2=2px（p＞0）, ∴x1≥0,x2≥0. ∴x1+x2≥2 设直线l:my=x- 由 ∴y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2. ∴x1x2=（my1+ =m2y1y2+ =m2(-p2)+ = ∴x1+x2≥2 ∴|AB|=x1+x2+p≥p+p=2p. ∴|AB|min=2p. 解法三：如图所示.设直线l的倾斜角为θ，则直线l的方程是 ycosθ=（x- 设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由 ∴x1+x2= ∴|AB|=|AF|+|FB|=x1- ∴|AB|min=2p. 深化升华 本题解答可以得到结论:通径是焦点弦长的最小值,即焦点弦长的最小值是通径长2p.
（m∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），F（
，0）.
得y2=2p（my+
）.
（m∈R）
，|BF|=x2+
.
.
(m∈R),
得y2=2p(my+
).
）（my2+
）
m(y1+y2)+
m(2pm)+
.
=p.
）sinθ.
消去y，得x2sin2θ-p（1+cos2θ）x+
sin2θ=0,
.
+x2+
=
+p=
≥2p.
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=1两焦点F1，F2，则椭圆上存在六个不同点M，使得△F1MF2为直角三角形；
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；