Question

【题目】

已知椭圆的右焦点为，以椭圆与双曲线两条渐近线的四个交点为顶点的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为椭圆上的两点（不同时在轴上），点，证明：存在实数，当三点共线时，为常数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）双曲线的渐近线方程为．

设直线与椭圆在第一象限的交点为，

把代入椭圆的方程，可得，

易得椭圆与双曲线两条渐近线的四个交点为顶点的四边形的面积为，（2分）

所以，所以，即，

因为，所以，

即，解得（负值舍去），所以，

所以椭圆的方程为．（5分）

（2）因为三点共线，且不同时在轴上，所以直线的斜率不为，

设，代入椭圆方程消去，得．

设，则．（6分）

．（7分）

，

．

所以

．（10分）

只要，上式即为，与无关．（11分）

由，解得，此时．

即存在实数，当三点共线时，为常数．