Question

已知y_n＝2log_ax_n(a＞0且a≠1，n∈N^*)，已知y₄＝17，y₇＝11．

(1)求证：数列{y_n}是等比数列；

(2)数列{y_n}的通项公式；

(3)数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵yn+1－yn＝2loga()n+1－2loga()n＝2loga()常数(n≥1)． 　　∴数列{yn}为等差数列; 　　(2)设数列{yn}的公差为d，由y4＝17，y7＝11． 　　得 　　解得y1＝23，d＝－2， 　　∴yn＝25－2n． 　　即数列{yn}的通项为yn＝25－2n(n≥1); 　　(3)解：令 　　得 　　∵n∈N*． 　　∴n＝12． 　　∴{yn}的前12项之和最大，最大值为S12＝144; 　　(3)由(2)知，当n＞12时，yn＜0成立． 　　∵yn＝2logaxn， 　　∴xn＝a． 　　当a＞1，且n＞12时，有xn＝a＜a＝1． 　　这与题意不符，故0＜a＜1． 　　由0＜a＜1，且n＞12，有xn＝a≥a＞2． 　　故所求a的取值范围为0＜a＜