Question

【题目】动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1

【解析】

（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；

（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k1﹣k2|，利用二次函数的性质求出最小值．

（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，

联立得

由韦达定理得

（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得

（2）当直线不经过点即且时，，

所以的最小值为.

方法二：同上

故，所以的最小值为

方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得： 化简整理得：

，令，则