题目内容

关于函数f（x）=x³-x²+x，下列说法正确的是

A.
有极大值，没有极小值
B.
有极小值，没有极大值
C.
既有极大值也有极小值
D.
既无极大值也无极小值

C
分析：已知函数f（x）=x³-x²+x，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，从而求解；
解答：∵函数f（x）=x³-x²+x，
∴f′（x）=3x²-2x+1，令f′（x）=0，
∴f′（x）=（3x+1）（x-1）=0，解得x=1或- $\text{[math]}$ ，
当f′（x）＞0可得x＞1或x＜- $\text{[math]}$ ，此时f（x）的增函数；
当f′（x）＜0可得- $\text{[math]}$ ＜x＜1，此时f（x）的减函数；
∴f（x）在x=1处取得极小值点，f（x）在x=- $\text{[math]}$ 处取得极大值，
∴f（x）有极大值，也有极小值；
故选C；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，考查的知识点比较全面，是一道基础题；

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设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

给出定义：若m-

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=

（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-

]上是增函数．
其中正确的命题的序号是（　　）

给出定义：若m-

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是(-

]；
②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在(-

]上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是

已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：?
①若f（x-2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称；?②若f（x+2）=-f（x-2），则函数f（x）的图象关于原点对称；?③函数y=f（2+x）与函数y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；?④函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．?
其中正确的命题序号是

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．