Question

【题目】设a为实数，函数，

若，求不等式的解集；

是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；

写出函数在R上的零点个数不必写出过程

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）3.

【解析】

代入a的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；

通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，得到关于a的不等式组，解出判断即可；

通过讨论a的范围，判断函数的零点个数即可．

（1）由题意，当时，，

当时，，即，

故不存在这样的实数x，

当时，，即，解得：，

故不等式的解集是；

，

若，则在递增，在递减，在递增，

函数在上既有最大值又有最小值，

，，

从而，即，

解得：，

故不存在这样的实数a；

若，则在递增，在递减，在递增，

函数在区间上既有最大值又有最小值，

故，，

从而，即，

解得：，

故不存在这样的实数a；

若，则为R上的递增函数，

故在上不存在最大值又有最小值，

综上，不存在这样的实数a；

当或时，函数的零点个数为1，

当或时，函数的零点个数为2，

当时，函数的零点个数为3．