题目内容

(本小题满分14分)
已知函数
(1)判断的单调性并证明;
(2)若满足,试确定的取值范围。
(3)若函数对任意时,恒成立,求的取值范围。
解:(1)上为增函数。(2)
(3)在上为增函数,所以最小值为。所以
本试题主要是考查了函数的最值,和单调性的综合运用,以及不等式的恒成立的问题的综合运用。
(1)利用定义法设出变量,然后代入函数解析式得到差值,然后变形定号,下结论得到。
(2)在第一问的基础上得到不等式的求解。
(3)要证明不等式恒成立,构造新函数利用函数的最小值大于等于零得到证明。
解:(1)由题得:,设

 ,又,得
,即上为增函数。
(2)由(1)得:上为增函数,要满足
只要,得
(3),由得:,即  ①,那么①式可转化为所以题目等价于上恒成立。即大于函数上的最大值。即求上的最小值。令,由(1)得
上为增函数,所以最小值为。所以
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