Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{3{x}^{2}，x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，若存在常数t使得方程f（x）=t有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），那么x₁•f（x₂）的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{3}{4}$，1）
• B． [$\frac{1}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
• C． [$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{3}{8}$，3）

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，以及直线y=t，方程f（x）=t有两个不等的实根，即为直线y=t和y=f（x）的图象有两个交点，分别求得x₁，x₂的范围，由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{3{x}^{2}，x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，
作出f（x）的图象，以及直线y=t，
方程f（x）=t有两个不等的实根，即为
直线y=t和y=f（x）的图象有两个交点，
由x+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，可得x=$\frac{1}{4}$，
由1=3x²，可得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负的舍去），
即有$\frac{1}{4}$≤x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤x₂≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{1}{4}$≤x₂²≤$\frac{1}{3}$，
则x₁•f（x₂）=3x₁•x₂²∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{2}$）．
故选C．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合的思想方法，同时考查不等式的性质和运算能力，属于中档题．