Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n 为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式和T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a₁=1，d=2，可求通项，而b_n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和
（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n-1）a_n，结合已知a_n²=S_2n-1，可求a_n，而b_n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和
（Ⅱ）由（I）可求T₁=，T_m=，T_n=，代入已知可得
法一：由可得，＞0可求m的范围，结合m∈N且m＞1可求m，n
法二：由可得，结合m∈N且m＞1可求m，n
解答：解：（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2可得
即
∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
∵b_n===（）
∴）=（1-）=
（法二）∵{a_n}是等差数列，
∴
∴=（2n-1）a_n
由a_n²=S_2n-1，得a_n²=（2n-1）a_n，
又a_n≠0，
∴a_n=2n-1
∵b_n===（）
∴）=（1-）=
（Ⅱ）∵T₁=，T_m=，T_n=
若T₁，T_m，T_n，成等比数列，则
即
法一：由可得，＞0
即-2m²+4m+1＞0
∴
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n，成等比数
法二：∵
∴
∴2m²-4m-1＜0
∴
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n，成等比数
点评：本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，裂项求和方法的应用，本题具有一定的综合性．