Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中点Q，连接PQ，由于CQ⊥AB，AB⊥CP，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面CPO，从而得到AB⊥PQ又A₁A⊥AB得A₁A∥PQ，而点Q是AB的中点，得到P为A₁B的中点；
（2）连接AB₁，取AC中点R，连接A₁R，连B₁A，B₁R，BR，过B作BH⊥B₁R，垂足为H，过B作BG⊥PC，连接GH，根据二面角的平面角的定义可知∠BGH为二面角B₁-PC-B的平面角，在三角形BGH中求出此角即可．

解答：解：（1）证明：取AB中点Q，∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A₁A⊥AB
得A₁A∥PQ，点Q是AB的中点
∴P为A₁B的中点（4分）
（2）连接AB₁，取AC中点R，连接A₁R，
则BR⊥平面A₁C₁CA，∴BR⊥AC₁，由已知A₁B⊥AC₁，∴A₁R⊥AC₁，∴△AC₁C～△A₁RA∴

C1C

AC

=

1 2 AC

A1A

，∴AC=

2

A1A（6分）
则AA1=

2

，则AC=2
连B₁A，B₁R，BR，∵AC⊥平面B₁BR，∴平面B₁AC⊥平面B₁BR，
平面B₁AC∩平面B₁BR=B₁R，过B作BH⊥B₁R，垂足为H，
则BH⊥平面B₁PC，过B作BG⊥PC，
连接GH，那么∠BGH为二面角B₁-PC-B的平面角（8分）
在△B₁BR中，BH=

30

5

在△PBC中，BG=

3 0

21

（10分）∴sin∠BGH=

21

5

∴cos∠BGH=

2

5

（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及二面角的度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力，属于常规题．