Question

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲线上，存在点P满足|MP|=|NP|的曲线是（　　）

• A、3x-y+1=0
• B、x²+y²-4x+3=0
• C、

  x2

  2

  +y2=1
• D、

  x2

  2

  -y2=1

Answer 1

分析：根据题意，要满足|MP|=|NP|，则P在线段MN的垂直平分线上，即求可以和线段MN的垂直平分线相交的曲线即可．先求得线段MN的垂直平分线方程，分别代入四个选项的方程，根据判别式判断与曲线方程是否有交点．

解答：解：连接MN，设MN的方程为y=kx+b，倾斜角为α
代入M，N的坐标，有
2k+b=1
-k+b=2
解得k=-

1

3

，b=

5

3

即tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

MN的方程为y=-

x

3

+

5

3

，x∈[-1，2]
设MN的中点坐标为Q（a，-

a

3

+

5

3

）
有|QM|²=|QN|²
（a-2）²+（-

a

3

+

5

3

-1）²=[a-（-1）]²+（-

a

3

+

5

3

-2）²
解得a=

1

2

得Q（

1

2

，

3

2

）
与MN垂直的直线斜率为
tan（

π

2

+α）=

sin( π 2 +α)

cos( π 2 +α)

=-

cosα

sinα

=3
设MN垂直平分线的方程为y=3x+c
代入Q（

1

2

，

3

2

），得
3×

1

2

+c=

3

2

得c=0
MN垂直平分线的方程为y=3x
可知y=3x上的点到M的距离与到N的距离相等，则点P在y=3x上，同时又在A，B，C，D中的一个曲线上，即两个图象有交点
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，两个图象无交点
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判别式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
两个图象无交点
C．y=3x代入

x2

2

+y2=1，得

x2

2

+(3x)2=1，解得x=±

2 19

19

3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（

2 19

19

，

6 19

19

）或（-

2 19

19

，-

6 19

19

）
D．y=3x代入

x2

2

-y2=1，得

17x2

2

+1═0
判别式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
两个图象无交点
只有C选项正确
故选C

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法