题目内容

f(x)=
x+2
2
+2sin(x+
π
4
)
2+cosx
在[-2，2]上的最大值与最小值之和为
2
2
2
2
．
分析：用常数分离法化简函数的解析式为f（x）=
2
+
x+
2
sinx
2+cosx
，令 g（x）=
x+
2
sinx
2+cosx
，则有f（x）=
2
+g（x），可得f（x）的最大值与最小值的和等于2
2
加上g（x）的最大值与最小值．根据函数 g（x）为奇函数，可得 g（x）的最大值与最小值的和等于零，由此求得f（x） 的最大值与最小值之和．
解答：解：∵f(x)=
x+2
2
+2sin(x+
π
4
)
2+cosx
=
x+2
2
+2•sinx•cos
π
4
+2cosx•sin
π
4
2+cosx

=
x+2
2
+
2
sinx+
2
cosx
2+cosx
=
2
+
x+
2
sinx
2+cosx
，
令 g（x）=
x+
2
sinx
2+cosx
，则有f（x）=
2
+g（x），故f（x）的最大值与最小值的和等于2
2
加上g（x）的最大值与最小值．
由于函数 g（x）为奇函数，故 g（x）的最大值与最小值的和等于零，
故f（x）的最大值与最小值的和等于2
2
，
故答案为 2
2
．
点评：本题主要考查用常数分离法化简函数的解析式，利用函数的奇偶性求函数的值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
某同学探究函数f(x)=x+
4
x
（x＞0）的最小值，并确定相应的x的值．先列表如下：
x …
1
4
1
2
 1
3
2
 2
8
3
 4 8 16 …
y … 16.25 8.5 5
25
6
 4
25
6
 5 8.5 16.25 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：（（1）（2）问的填空只要写出结果即可）
（1）若x1x2=4，则 f（x1）
=
=
f（x2）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+
4
x
（x＞0）在区间 （0，2）上递减，则f（x）在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
  上递增；
（2）当x=
2
2
时，f(x)=x+
4
x
（x＞0）的最小值为
4
4
；
（3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数f(x)=x+
4
x
（x＜0）的最大值吗？为什么？
探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．
列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．
当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
证明：函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）递减．
思考：
（1）函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
（2）函数f(x)=x+
k
x
(x＞0，k＞0)时有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
观察下列表格，探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性质，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．
当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）证明：函数f(x)=x+
4
x
在区间（0，2）递减．
（3）函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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