题目内容

若x、y∈R，求证：x2+y2+1≥x+y+xy．

 

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设f（x）是定义在R+上的函数，并且对任意的正实数x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
求证：（1）f（1）=0；
（2）f(
1
x
)=-f(x)；
（3）若x，y∈R+，则f(
x
y
)=f(x)-f(y)．
（一）已知a，b，c∈R+，
①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求证：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．
（1）若x+3y-1=0，则2x+8y的最值．
（2）设x，y∈R，求证：x2+4y2+2≥2x+4y．
若x、y∈R，求证：x2+y2+1≥x+y+xy．

 

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