Question

8．如图，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′-MN-B的大小为$\frac{π}{3}$，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所成角的定义要找到斜线B′M在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．

解答 解：∵∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，
将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′-MN-B的大小为$\frac{π}{3}$，
∴∠BMB′=$\frac{π}{3}$，
取BM的中点D，连B′D，ND，
由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，
∴折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MD=60°，
并且B′在底面ACB内的投影点D就在BC上，且恰在BM的中点位置，
∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面ABC，
∴∠B′ND就为斜线B′N与平面ABC所成的角
设AC=BC=a，则B′D=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，B′N=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，DN=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{3{a}^{2}}{16}}$$\frac{\sqrt{5}a}{4}$，
tan∠B′ND=$\frac{{B}^{'}D}{DN}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{\sqrt{5}a}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故B'N与平面ABC所成角的正切值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查平面图形的翻折与线面角的问题，应注意折前与折后的各种量变与不变的关系，而对于线面角的求解通常有传统的求作角、解三角形法及向量方法，这个内容是高考中三个角的重点考查内容之一，一般不会太难，但对学生的识图与空间想象能力的要求较高，是很好区分学生空间想象能力的题型．