题目内容
（2012•丰台区一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{
}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(-1)nλ＜1+
（n∈N*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{
| bn |
| 2n |
（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(-1)nλ＜1+
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）根据bn+1-2bn=8an，可得
-
=2，从而可得{
}是首项为
=1，公差为2的等差数列，由此可求{bn}的通项公式；
（Ⅲ）存在常数λ使得不等式(-1)nλ＜1+
（n∈N*）恒成立．利用错位相减法求数列的和，再分类讨论，利用分离参数法，即可得到结论．
（Ⅱ）根据bn+1-2bn=8an，可得
| bn+1 |
| 2n+1 |
| bn |
| 2n |
| bn |
| 2n |
| b1 |
| 21 |
（Ⅲ）存在常数λ使得不等式(-1)nλ＜1+
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
解答：（Ⅰ）解：当n=1时 a1=S1=21-1=1；
当n≥2时 an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1，
因为a1=1适合通项公式an=2n-1．
所以 an=2n-1（n∈N*）． …（5分）
（Ⅱ）证明：因为 bn+1-2bn=8an，所以 bn+1-2bn=2n+2，即
-
=2．
所以{
}是首项为
=1，公差为2的等差数列．
所以
=1+2(n-1)=2n-1，
所以bn=(2n-1)•2n． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式(-1)nλ＜1+
（n∈N*）恒成立．
因为Tn=1•21+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n①
所以2Tn=1•22+3•23+…+（2n-5）•2n-1+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1②
由①-②得-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)•2n+1，
化简得Tn=(2n-3)•2n+1+6．
因为
=
=
=
-
=
-
，
（1）当n为奇数时，(-1)λ＜1+
，所以λ＞-1-
，即λ＞-
+
．
所以当n=1时，-
+
的最大值为-
，所以只需λ＞-
；
（2）当n为偶数时，λ＜1+
，所以λ＜
-
，
所以当n=2时，
-
的最小值为
，所以只需λ＜
；
由（1）（2）可知存在-
＜λ＜
，使得不等式(-1)nλ＜1+
（n∈N*）恒成立．…（13分）
当n≥2时 an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1，
因为a1=1适合通项公式an=2n-1．
所以 an=2n-1（n∈N*）． …（5分）
（Ⅱ）证明：因为 bn+1-2bn=8an，所以 bn+1-2bn=2n+2，即
| bn+1 |
| 2n+1 |
| bn |
| 2n |
所以{
| bn |
| 2n |
| b1 |
| 21 |
所以
| bn |
| 2n |
所以bn=(2n-1)•2n． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式(-1)nλ＜1+
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
因为Tn=1•21+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n①
所以2Tn=1•22+3•23+…+（2n-5）•2n-1+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1②
由①-②得-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)•2n+1，
化简得Tn=(2n-3)•2n+1+6．
因为
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
| (2n-3)•2n+1 |
| (2n-1)•2n+2 |
| 2n-3 |
| 4n-2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 4n-2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
（1）当n为奇数时，(-1)λ＜1+
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
所以当n=1时，-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）当n为偶数时，λ＜1+
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
所以当n=2时，
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 7 |
| 6 |
| 7 |
| 6 |
由（1）（2）可知存在-
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 6 |
| Tn-6 |
| Tn+1-6 |
点评：本题考查数列的通项，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查存在性问题的探究，考查分离参数法的运用，属于中档题．
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