Question

求函数y=log2(x2+2x+3)的定义域、单调区间和值域．

Answer 1

分析：令t=x²+2x+3＞0，求得x的范围，可得函数y的定义域．
根据复合函数的单调性，函数y的增区间即函数t在R上的增区间，函数y的减区间即函数t在R上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间和减区间．
利用二次函数的性质求得二次函数t的值域，可得y=log₂t 的值域．

解答：解：令t=x²+2x+3＞0，求得x∈R，故函数y的定义域为R．
根据复合函数的单调性，函数y的增区间即函数t=x²+2x+3在R上的增区间，
函数y的减区间即函数t=x²+2x+3在R上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t的增区间（-∞，-1），减区间（-1，+∞），
故函数y的增区间（-∞，-1），减区间（-1，+∞）．
再由t=（x+1）²+2≥2，可得y=log₂t≥1，故函数y的值域[1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的定义域和值域的求法，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．