Question

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+

3

）海里的两个观测点，现位于A点北偏东60°，B点北偏西45°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75°且与B点相距15

6

海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

Answer 1

分析：在三角形ABD中，由AB，∠ADB，以及∠DAB的度数，利用正弦定理求出BD的长，连接CD，在三角形BCD中，由BC，BD，及∠CBD的度数，利用余弦定理求出CD的长，即为该救援船到达D点的路程，利用时间=路程÷速度，即可求出该救援船到达D点需要的时间．

解答：解：在△ABD中，AB=5（3+

3

）海里，∠ADB=60°+45°=105°，
由正弦定理：

AB

sin∠ADB

=

BD

sin30°

，
即

5(3+ 3 )

sin(60°+45°)

=

BD

1 2

，
∴2BD=

20 3 (1+ 3 )

2 (1+ 3 )

，即BD=5

6

，
连接CD，在△CBD中，BC=15

6

，BD=5

6

，∠CBD=15°+45°=60°，
由余弦定理：CD²=BC²+BD²-2BC•BDcos60°=（15

6

）²+（5

6

）²-2×15

6

×5

6

cos60°=1350+150-450=1050，
∴CD=5

42

（海里），
∴t=

5 42

30

=

42

6

（小时）．
答：该救援船到达D点需要的时间为

42

6

小时．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．