Question

【题目】设函数，，其中，为自然对数的底数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，；

（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立．

Answer 1

【答案】（1）当时单调递减；当时，单调递增；

（2）详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先对求导，然后对进行讨论，从而判断函数的单调性；（2）利用导数判断函数的单调性，从而证明结论；（3）构造函数（），利用导数判断函数的单调性，从而求解的值．

试题解析：（1）由，得．

当时，在成立，则为上的减函数；

当时，由，得，

∴当时，，当时，．

则在上为减函数，在上为增函数．

综上，当时，为上的减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数．

（2）证明：要证，即，即证，也就是证．

令，则，∴在上单调递增，则，

即当时，，∴当时，；

（3）由，得．

设，由题意知，在内恒成立．

∵，∴有在内恒成立．

令，则，

当时，，

令，，函数在上单调递增．∴．

又，，∴，．

综上所述，，，在区间单调递增，

∴，即在区间单调递增，∴．