Question

13．已知sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{3}{5}$，且α在第二象限，则tan$\frac{α}{2}$（　　）

• A． $\frac{1}{3}$或-3
• B． 3
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 3或-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由和差角公式和二倍角公式解方程可求出tan$\frac{α}{2}$，由角的范围可得．

解答 解：∵sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴sin[（α+β）-β]=sinα=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{si{n}^{2}\frac{α}{2}+co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{ta{n}^{2}\frac{α}{2}+1}$=$\frac{3}{5}$，
∴3tan²$\frac{α}{2}$-10tan$\frac{α}{2}$+3=0，解得tan$\frac{α}{2}$=3或tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∵α在第二象限，∴2kπ+$\frac{π}{2}$＜α＜2kπ+π，
∴kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴tan$\frac{α}{2}$＞tan$\frac{π}{4}$=1，
∴tan$\frac{α}{2}$=3
故选：B

点评 本题考查三角函数公式的综合应用，利用二倍角公式求出tan$\frac{α}{2}$并由角的范围确定函数值的范围是解题关键，属中档题．