题目内容

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，
求证：（1）BD₁⊥平面ACB₁；
（2）BE= $数学公式$ ED₁．

证明：（1）先证明BD₁⊥AC．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |²-| $\text{[math]}$ |²=1-1=0．
∴BD₁⊥AC．同理可证BD₁⊥AB₁，
于是BD₁⊥平面ACB₁．
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
对于空间任意一点O，设 $\text{[math]}$ =b， $\text{[math]}$ =m， $\text{[math]}$ =b₁， $\text{[math]}$ =d₁，
则上述等式可改写成2（m-b）=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b．记 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =e．
此即表明，由e向量所对应的点E分线段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，
所以点E既在线段B₁M（B₁M?面ACB₁）上又在线段D₁B上，
所以点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，
即D₁E：EB=2：1．∴BE= $\text{[math]}$ ED₁．
分析：（1）利用向量的数量积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而证明BD₁⊥平面ACB₁；
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，推出2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ =b， $\text{[math]}$ =m， $\text{[math]}$ =b₁， $\text{[math]}$ =d₁，求得点E分线段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，即BE= $\text{[math]}$ ED₁．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，考查转化思想，逻辑思维能力，是中档题．