Question

选修4-5：不等式选讲．
已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）对?x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）=|x+1|+|x-3|的解析式为

2-2x ， x≤-1 4  ，  -1＜x＜3 2x-2 ，  x≥3

，如图所示．
（2）对?x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，而函数f（x）的最小值为4，故有4≥a²-3a恒成立，即 a²-3a-4≤0，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=|x+1|+|x-3|=

2-2x ， x≤-1 4  ，  -1＜x＜3 2x-2 ，  x≥3

，如图所示：

（2）对?x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，而函数f（x）的最小值为4，4≥a²-3a恒成立，即 a²-3a-4≤0，
解得-1≤a≤4，
故实数a的取值范围为[-1，4]．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法，属于中档题．