Question

已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于

2

．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：

x

m

+

y

n

=1（m＞2，n＞2）与圆C相切，求mn的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意设出圆的方程，利用圆心C到直线y=-x的距离等于

2

．求出圆心坐标，得到圆的方程．
（2）根据直线和圆相切可得

|n+m-mn|

n2+m2

=1，化简可得 m+n=

mn+2

2

，再由基本不等式可得 (

mn

)2-4

mn

+2≥0，解得

mn

≥2+

2

，从而得到 mn≥6+4

2

．

解答：解：（1）因为圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心在y=x（x＞0），
设圆C方程为（x-a）²+（y-a）²=a²，圆心C到直线y=-x的距离等于

2

，
所以

2

a=

2

，a=1．
∴圆C方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
 （2）直线l方程化为为nx+my-mn=0，∵直线l与圆C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，∴

|n+m-mn|

n2+m2

=1，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左边展开，整理得，mn=2m+2n-2．∴m+n=

mn+2

2

．
∵m＞0，n＞0，m+n≥2

mn

，∴

mn+2

2

≥2

mn

，当且仅当m=n时成立．
∴(

mn

)2-4

mn

+2≥0，
∴

mn

≥2+

2

，或

mn

≤2-

2

．∵m＞2，n＞2，∴

mn

≥2+

2

，
∴mn≥6+4

2

，此时m=n=2+

2

．
mn的最小值为：6+4

2

．

点评：本题考查圆的标准方程，注意圆心的位置；考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，得到 m+n=

mn+2

2

是解题的关键．