Question

已知复数z₁=sin2x+λi,z₂=m+(m-cos2x)i(λ,m,x∈R),且z₁=z₂.

(1)若λ=0且0<x<π,求x的值.

(2)设λ=f(x),已知当x=α时,λ=,试求

cos的值.

Answer 1

复数相等实际是给出了关于m,λ和x的三角函数之间的两个等式.(1)根据λ=0,得到关于x的方程,通过方程求解x.(2)根据复数相等的条件得m=sin2x,故可以得到函数λ=f(x),已知条件即f(α)=,变换这个已知条件,把求解目标用已知表示.

【解析】(1)因为z₁=z₂,所以

所以λ=sin2x-cos2x.

若λ=0,则sin2x-cos2x=0,得tan2x=.

因为0<x<π,所以0<2x<2π,

所以2x=或2x=,所以x=或.

(2)因为λ=f(x)=sin2x-cos2x

=2=2sin.

当x=α时,λ=,所以2sin=,

sin=,sin=-.

因为cos=cos2

=2cos²-1

=2sin²-1,

所以cos=2×-1=-.