Question

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：设圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为| b|，|a|．由 　　题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，故圆截x轴所得弦长为r　∴　 　　r2=2b2， 　　又圆截y轴所得弦长为2，所以有r2=a2+1，从而得2b2-a2=1 　　又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=， 　　所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab 　　≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1 　　当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取最小值，此时有 　　　解得或 　　由于r2=2b2=2，得r=． 　　于是，所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2