题目内容
已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b满足|ka+b|=| 3 |
（1）求a与b的数量积用k表示的解析式f（k）；
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值；
（3）求向量a与向量b的夹角的最大值．
分析：（1）由，|
|=|
|=1且|k
+
|=
|
-k
|，两边平方化简可得化简可得4k
•
=k2+1，
从而可求f（k）
（2）若
⊥
可得
•
=
=0是否有解，来判断
和
是否垂直
若
∥
可得|
•
|=|
||
|即
=1是否有解，来判断
和
是否平行
（3）设
与
夹角为θ，根据向量的夹角公式可得cosθ=
=
=
+
=(
)2+(
)2
利用二次函数的性质可求
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
从而可求f（k）
（2）若
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| a |
| b |
若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| a |
| b |
（3）设
| a |
| b |
| ||||
|
|
| k2+1 |
| 4k |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
| ||
| 2 |
| 1 | ||
2
|
利用二次函数的性质可求
解答：解：（1）由题，|
|=|
|=1且|k
+
|=
|
-k
|，
所以(k
+
)2=3(
-k
)2，
化简可得4k
•
=k2+1，
∴f(k)=
•
=
(k＞0)；
（2）若
⊥
，则
•
=
=0，而
=0无解，因此
和
不可能垂直；
若
∥
，则|
•
|=|
||
|即
=1，解得k=2±
，
综上，
和
不可能垂直；
当
和
平行时，k=2±
；
（3）设
与
夹角为θ，
则cosθ=
=
=
+
=(
)2+(
)2
=(
-
)2+
≥
因此，当且仅当
=
即k=1时，cosθ有最小值为
，此时，向量
与
的夹角有最大值为60°．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
所以(k
| a |
| b |
| a |
| b |
化简可得4k
| a |
| b |
∴f(k)=
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
（2）若
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| k2+1 |
| 4k |
| a |
| b |
若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| 3 |
综上，
| a |
| b |
当
| a |
| b |
| 3 |
（3）设
| a |
| b |
则cosθ=
| ||||
|
|
| k2+1 |
| 4k |
| k |
| 4 |
| 1 |
| 4k |
| ||
| 2 |
| 1 | ||
2
|
=(
| ||
| 2 |
| 1 | ||
2
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因此，当且仅当
| ||
| 2 |
| 1 | ||
2
|
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
点评：（1）考查了平面向量的数量积的性质：|
|=
（2）考查了平面向量的垂直与平行的坐标表示：
⊥
?x1x2+y1y2=0；
∥
?x1y2-x2y1=0
（3）考查了向量的夹角公式与二次函数的综合应用．
| a |
|
（2）考查了平面向量的垂直与平行的坐标表示：
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）考查了向量的夹角公式与二次函数的综合应用．
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