Question

17．求函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$的定义域、值域、单调区间．

Answer 1

分析 利用换元法结合复合函数的单调性关系以及指数函数的性质进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为（-∞，+∞），
设t=x²-4x，
则t=x²-4x=（x-2）²-4≥-4，
∴y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$≤$（\frac{1}{3}）^{-4}={3}^{4}$=81，
∵y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$＞0
∴0＜y≤81，即函数的值域为（0，81]，
t=x²-4x=（x-2）²-4的对称轴为x=2，
当x≥2时，函数t=x²-4x为增函数，而y=（$\frac{1}{3}$）^t为减函数，则此时=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$为减函数，即函数的单调递减区间为[2，+∞），
当x≤2时，函数t=x²-4x为减函数，而y=（$\frac{1}{3}$）^t为减函数，则此时=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$为增函数，即函数的单调递增区间为（-∞，2]．

点评 本题主要考查函数定义域，值域，单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．