Question

(13分)如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；

（Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，

求出点P的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A₁（0，0，）

（Ⅰ）由于，

则

∴BD⊥AA₁                                                                      

  （Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D

则得到                    

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是               

（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得  设

则设

得到                 

又因为平面DA₁C₁

则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP