Question

13．已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2011）+f（2012）=1．

Answer 1

分析 先根据f（x+2）=-f（x），（x≥0），便可得到f（x+4）=f（x），所以便可得到f（x）的周期为4，这样便可求得f（-2011）=f（2011）=f（3+4•502）=f（1），同样可求出f（2012）=f（0），从而再带入x∈[0，2）的f（x）解析式即可求得结果．

解答 解：由已知条件得：f（x+4）=f（x）；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
∴f（x+4k）=f（x）；
又f（x）是偶函数，x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1）；
∴f（-2011）+f（2012）=f（3+4•502）+f（0+4•503）=f（3）+f（0）=f（-3）+f（0）=f（1）+f（0）=log₂2+log₂1=1．
故答案为：1．

点评 考查对f（x+2）=-f（x）的认识能力，周期函数的定义，偶函数的定义，已知函数求值，以及对于1的对数和底的对数的掌握．