Question

已知双曲线x²-y²=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）．
（I）证明为常数；
（Ⅱ）若动点（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，由此可以求出为常数1．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．再利用根与系数的关系能够推导出也为常数1，
（Ⅱ）由条件知F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题设条件知得，再由根与系数的关系和双曲线的性质推导点M的轨迹方程．
解答：（I）证明：由条件知F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，
此时．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．
代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．
则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以，，
于是=（k²+1）x₁x₂-（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1==（-4k²-2）+4k²+1=-1．
综上所述，为常数-1．
（II）证法一：由条件知F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设M（x，y），则，，，．由得：即
于是AB的中点坐标为．
当AB不与x轴垂直时，，即．
又因为A，B两点在双曲线上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x+2）=（y₁-y₂）y．
将代入上式，化简得x²-y²=4．
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
所以点M的轨迹方程是x²-y²=4．
证法二：同证法一得①
当AB不与x轴垂直时，由（I）有．②．③
由①②③得．④．⑤
当k≠0时，y≠0，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得x²-y²=4．
当k=0时，点M的坐标为（-2，0），满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
故点M的轨迹方程是x²-y²=4．
点评：本题考查双曲线的性质及其运用，解题时要熟练掌握根与系数的关系．