Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为椭圆+=1d的右焦点，点A、B为抛物线上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（III）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知，从而可求得抛物线的标准方程
证明：（Ⅱ）法一：设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，由，可求x₁x₂，而OA⊥OB可得===-1可求b，从而可求直线AB所经过的定点
法二：①当直线AB的斜率不存在时，易求直线AB的方程为x=4，
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，由，可求x₁x₂，而OA⊥OB可得==-1可求b与k的关系，从而可求直线AB所经过的定点
（Ⅲ）可求点到直线x-y=0的距离：d=，结合方程的根与系数关系，代入整理，结合二次函数的性质可求d的最小值
解答：解：（Ⅰ）椭圆的右焦点（1，0），由题意知
∴p=2．…（2分）
抛物线的标准方程为y²=4x．…（3分）
证明：（Ⅱ）法一：设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由    得y²-4my-4b=0．…（4分）
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．…（5分）
∵OA⊥OB，，
∴===-1，
∴b=4．…（7分）
∴直线AB的方程为x=my+4，该直线恒过定点M（4，0）．…（8分）
法二：①当直线AB的斜率不存在时，易求直线AB的方程为x=4，
直线AB过定点（4，0）．  …（4分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），
由得ky²-4y+4b=0．
则．           …（5分）
∵OA⊥OB，，，
∴==
∴b=-4k．…（7分）
直线AB的方程为y=kx-4k=k（x-4）该直线恒过定点M（4，0）．…（8分）
（Ⅲ）点到直线x-y=0的距离：d=
==
===（10分）
∴m=时，d取最小值为．…（12分）
点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，点到直线的距离公式的应用及二次函数的性质的应用，属于综合试题