Question

16．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，a=1，求边AC上的中线BD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，条件化为2sinAcosB+sinA=0，即可求角B的大小；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式，求出c，利用余弦定理求出b，进而可求边AC上的中线BD的长．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，可得2sinAcosB+sin（B+C）=0，…（2分）
即2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
而sinA≠0，所以cosB=-$\frac{1}{2}$，B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）解：因S=$\frac{1}{2}$acsinB，又S=$\sqrt{3}$，a=1，sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则c=4．…（8分）
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得b=$\sqrt{21}$，…（10分）
由cosC=$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{a^2}+{{（\frac{b}{2}）}^2}-B{D^2}}}{{2a•\frac{b}{2}}}$，得$\frac{1+21-16}{{2×1×\sqrt{21}}}=\frac{{1+\frac{21}{4}-B{D^2}}}{{\sqrt{21}}}$，
解得BD=$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．