Question

如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC；

（Ⅲ） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

 

考点：	用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
专题：	证明题；空间位置关系与距离．
分析：	（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证； （Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA； （Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；
解答：	（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形， 连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点， ∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD； （Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形， ∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA， 又， 所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD， CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC， 又PA⊂面PAB， ∴面PAB⊥面PDC； （Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD， 由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角， Rt△FEM中，，，， 故所求二面角的正切值为；
点评：	本题考查线面平行、面面垂直的判定及二面角的求解，考查学生的推理论证能力及逻辑思维能力，属中档题．