Question

如图，四棱锥P--ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A-BE--D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标至B-xyz，利用两个向量的所成角即为异面直线CD与PA所成的角，可得结论；
（2）欲证PC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面EBD内一直线平行连接AC交BD于G，连接EG，根据比例关系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，满足定理所需条件；
（3）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：（1）解：如图，以点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标系B-xyz．

设BC=a，则A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（0，6，0）
∴

CD

=（3，-3，0），

PA

=（3，0，-3）
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

PA • CD

| PA || CD |

=

9

3 2 •3 2

=

1

2

，
因此异面直线CD与PA所成的角为60°；
（2）证明：连接AC交BD于G，连接EG．
∵

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

∴PC∥EG
又∵EG?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：设平面EBD的法向量为

n

=（x，y，1），
设E（a，0，c），则∵PE=2EA，∴（a，0，c-3）=2（3-a，0，-c）
∴a=2，c=1，∴E（2，0，1）
∴

BE

=（2，0，1），
∵

BD

=（3，3，0）
∴由

n • BE =2x+1=0 n • BD =3x+3y=0

，可得x=-

1

2

，y=

1

2

∴

n

=（-

1

2

，

1

2

，1）
又∵平面ABE的法向量为

m

=（0，1，0），
∴cos（

n

，

m

）=

n • m

| n || m |

=

6

6

．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值为

6

6

．

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．