Question

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=

a

x

-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

；
（2）f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1-x2

x

，
当

1

e

≤x≤e时，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[

1

e

，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=-

1

2

；

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．