Question

已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β-）=，sin（α+β）=．
（1）求sin2β的值；
（2）求cos（α+）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：直接利用两角差的余弦函数展开，再用方程两边平方，求sin2β的值；
     法二：利用sin2β=cos（-2β），二倍角公式，直接求出sin2β的值；
（2）通过题意求出sin（β-）=，cos（α+β）=-，根据cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]，展开代入数据，即可求cos（α+）的值．
解答：解：（1）法一：∵cos（β-）=coscosβ+sinsinβ
=cosβ+sinβ=．
∴cosβ+sinβ=．
∴1+sin2β=，∴sin2β=-．
法二：sin2β=cos（-2β）
=2cos²（β-）-1=-．
（2）∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β-＜，＜α+β＜．
∴sin（β-）＞0，cos（α+β）＜0．
∵cos（β-）=，sin（α+β）=，
∴sin（β-）=，cos（α+β）=-．
∴cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]
=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）
=-×+×=．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，角的变换技巧在三角函数化简求值中应用比较普遍，不仅体现一个人的解题能力，同时体现数学素养的高低，可以说是智慧与能力的展现题目．