Question

（本小题满分12分）

已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，

（1）求矩形的外接圆的方程；

（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．

Answer 1

解：（1）由且，点在边所在的直线上

所在直线的方程是：即      

由  得                                       ………（3分）

矩形ABCD的外接圆的方程是：                       ………（6分）

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点

由知点在圆内，所以与圆恒相交，          ………（9分）

设与圆的交点为，为到的距离）

设与的夹角为，则

当时，最大，最短

此时的斜率为的斜率的负倒数：，的方程为

即：                                                ………（12分）