Question

【题目】已知函数f（x）=|x+a|+|x+ |（a＞0，m∈R，m≠0）．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，不等式f（x）＞3即为|x+2|+|x+ |＞3．

当x＜﹣2时，不等式为： ，解得 ；

当 时，不等式为： ，无解；

当 时，不等式为： ，解得 ．

综上，不等式f（x）＞3的解集为 ．

（2）证明：f（m）+f（﹣ ）=|m+a|+|m+ |+|﹣ |+|﹣ + |

≥|m+a+m+ + ﹣a+ ﹣ |=2|m+ |，

∵|m+ |=|m|+| |≥2，

∴2|m+ |≥4，

即f（m）+f（﹣ ）≥4．

【解析】（1）讨论x的范围，去绝对值符号化简不等式解出；（2）利用绝对值三角不等式证明．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．