Question

（10分）已知函数

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（Ⅱ）用定义证明在上是减函数；

（Ⅲ）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

 

Answer 1

（Ⅰ）函数为奇函数；（Ⅱ） 略；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 首先求函数 定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证 即证；（Ⅱ） 根据减函数的定义，证明当且 时，总有即证；（Ⅲ） 由（Ⅰ）可知函数为奇函数，其图像关于原点对称，得在（﹣1，0）上是减函数。

试题解析：（Ⅰ）函数为奇函数，理由如下：

易知函数的定义域为：，关于坐标原点对称.

又

在定义域上是奇函数.

（Ⅱ）设且，则

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．

∴，即

因此函数在（0，1）上是减函数.

（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．

考点：1、奇、偶函数的判定方法；2、函数单调性的判定方法；3、函数的单调区间.