Question

若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如图）．
（Ⅰ）若，求证：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求实数a的值，使得二面角A-EC-D的大小为60°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，确定平面CDE的一个法向量，利用数量积为0，即可证得AB∥平面CDE；  
（Ⅱ）确定平面CDE的一个法向量，平面AEC的一个法向量为，利用二面角A-EC-D的大小为60°，结合向量的夹角公式，即可求求实数a的值．
解答：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，），D（0，2，0），E（0，0，），
∴（2分）
设平面CDE的一个法向量为，
则有，
取时，（4分）
∴，又AB不在平面CDE内，所以AB∥平面CDE；    （7分）
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，），D（0，2，0），E（0，0，a），∴，
设平面CDE的一个法向量为，则有，
取z=2时，（9分）
又平面AEC的一个法向量为，（10分）
∵二面角A-EC-D的大小为60°，∴，
即，解得（13分）
又a＞0，所以．        （14分）
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键，属于中档题．