Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（I）利用导数的运算法则可得f^′（x）=lnx+1（x＞0），进而得到当时与当时，函数f（x）的单调性及极小值，也即最小值．

（II）由（I）可知：．同理利用导数即可得到g（x）的极大值即最大值．只要证明对任意n∈（0，+∞），都有即可．

解答：

（I）解：∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1（x＞0），

当时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

因此，当x=时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，==﹣．

（II）证明：由（I）可知：．

由g（x）=，得．

当x∈（0，1）时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．

∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，．

∴对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

点评：

熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．