Question

（本题满分14分）

已知直线，圆.

（Ⅰ）证明：对任意，直线与圆恒有两个公共点.

（Ⅱ）过圆心作于点，当变化时，求点的轨迹的方程.

（Ⅲ）直线与点的轨迹交于点，与圆交于点，是否存在的值，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）轨迹的方程为.

（Ⅲ）存在，使得且.

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的综合运用。

解：（Ⅰ）方法1：圆心的坐标为，半径为3…………………1分

圆心到直线距离………………2分

∴

∴即

∴直线与圆恒有两个公共点……………………4分

方法2：联立方程组…………………………1分

消去，得………………2分

∴直线与圆恒有两个公共点………………………4分

方法3：将圆化成标准方程为.…1分

由可得：.

解得，所以直线过定点.……………3分

因为在圆C内，所以直线与圆恒有两个公共点.………………4分

（Ⅱ）设的中点为，由于°，

∴

∴点的轨迹为以为直径的圆.………………7分

中点的坐标为，.

∴所以轨迹的方程为.………………9分

（Ⅲ）假设存在的值，使得.

如图所示，

有，……10分

又，，

其中为C到直线的距离.……………12分

所以，化简得.解得.

所以存在，使得且.……………………14分