Question

求证：0≤a＜

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是不等式ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立的充要条件．

Answer 1

分析：一元二次不等式ax²-ax+1＞0对一切实数x都成立，y=ax²-ax+1-a的图象在x轴上方，

a＞0  △＜0

，由此能够求出a的取值范围，从而得到证明．

解答：证明：充分性：∵0＜a＜

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，
∴△=a²-4a（1-a）=5a²-4a=a（5a-4）＜0，
则ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立．
而当a=0时，不等式ax²-ax+1-a＞0可变成1＞0．
显然当a=0时，不等式ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立．
必要性：∵ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立，
∴a=0或

a＞0 △=a2-4a 1-a＜0

解得0≤a＜

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．
故0≤a＜

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是不等式ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立的充要条件．

点评：本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．