Question

观察此表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…问：
（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2012是第几行的第几个数？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据此表的特点可知此表n行的第1个数为2^n-1第n行共有2^n-1个数，依次构成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式解之即可；
（2）直接根据等差数列的前n项和公式进行求解；
（3）设2012在此数表的第n行，则2^n-1≤2012≤2ⁿ-1可求出n，然后设2012是此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为2¹⁰，可求出m，从而得到结论．
解答：解：此表n行的第1个数为2^n-1第n行共有2^n-1个数，依次构成公差为1的等差数列．…（4分）
（1）由等差数列的通项公式，此表第n行的最后一个数是2^n-1+（2^1-1-1）×1=2ⁿ-1；（8分）
（2）由等差数列的求和公式，
此表第n行的各个数之和为=2^2n-2+2^2n-3-2^n-2，…（8分）
（3）设2012在此数表的第n行．
则2^n-1≤2012≤2ⁿ-1可得n=11
故2012在此数表的第11行．…（10分）
设2012是此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为2¹⁰，
因此，2012是第11行的第989个数．…（12分）
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和，同时考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题．