Question

(本题满分13分)设函数满足：都有，且时，取极小值
（1）的解析式；
（2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（3）设, 当时,求函数的最小值,并指出当取最小值时相应的值.

Answer 1

(1)  
(2) 根据题意可知，由于，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这两点处的切线的斜率分别是：，那么可以判定斜率之积不是-1，说明不能垂直
(3) 故当 时,  有最小值

试题分析：解：（）因为，成立，所以：，
由： ，得 ，
由：，得
解之得： 从而，函数解析式为： (4分)
（2）由于，，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这两点处的切线的斜率分别是：
又因为：，所以，，得：知：
故，当 是函数图像上任意两点处的切线不可能垂直  (8分)
（3）当 时， 且 此时
 
   (11分)
当且仅当：即即，取等号，
所以
故当 时,  有最小值   (13分)
(或)
点评：解决的关键是利用导数的符号确定出函数单调性，以及函数的极值，从而比较极值和端点值的函数值得到最值，属于基础题。