Question

试证明，对一切x∈R都有，当且仅当时等号成立．利用这个结果，求函数y =sin x＋cos x＋sinx· cos x的最大值和最小值．

 

Answer 1

答案：
解析：

要证明，只要证明：sin 2 x＋2sin x · cos x＋cos 2 x≤2， 只要证明对一切x∈R都有：2sin x · cos x≤1， 只要证明：2sin x · cos x ≤ sin 2 x＋cos 2 x， 即证明：(sin x－cos x)2 ≥0． 因为对任意x∈R，不等式(sin x－cos x)2 ≥0总成立，且上述各步都可逆，所以对一切x∈R，都有．论证中可以看出：当且仅当sin x－cos x =0，即tan x =1时，不等式中的等号成立，也就是说当且仅当时，（k∈Z），． 函数y =sin x · cos x＋sin x＋cos x中，把sin x用cos x表示或者把cos x用sin x表示都要出现根式，不便于求最大、最小值．注意到 ， 则有：． 令sin x＋cos x =t，如本题所证知：． 只要考查关于t的二次函数的最大、最小值，这个二次函数图象是开口向上的抛物线的一段弧， ∵ ，可见： 当t =－1时，该函数有最小值－1；当时，该函数有最大值． 　　   综上分析知： 当x =2kπ＋π或时，函数y =sin x · cos x＋sin x＋cos x有最小值－1； 当时，该函数有最大值．